数列高手|“错位相减法”算个什么鬼!

发布日期:2022-08-15 20:51    点击次数:149

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其实,今天的推文想写好长时间了。

因为前段时间的考试,期末和开年考,都考了同一个知识点,数列中等差比数列的求和。

不用怀疑,全中国所有学过数列的,都应该知道错位相减法。

但老师斩钉截铁的预言“你可能一定会出错的”!却也一直在考一直成真。

真的,这几次,依然有绝大一部分同学,要么计算时间特长,要么计算结果出错,甚至还有看到计算量,干脆放弃了……

昨晚星期一,两节自习辅导课,做了张卷。还真的有等差比!今天阅卷发现依然有16人解不了,占比35%……

明知必考,却什么也做不了!

还有什么比这种无能为力,更让人纠结的无能为力呢……

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其实,关于错位相减法,计算过程,也并没有学生口口相传的那么复杂。奈何现在的娃,计算能力是普遍不高的呢。但终归这是个重要的问题,迟早要解决的。所以,今天就这个等差比数列的求和问题,做一下专门的讲解。期待下次,再见等差比,同学都能顺顺利利!

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这就是我们的考题之一了,记得是上学期的期末联考题。第一问当然是简单的,典型的由和求项,当然就要用到数列的和与项之间的关系。

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只是要记得,一定要对n=1进行检验的!

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第二问,就是典型的等差比嘛!相信所有同学都认出它来了。那么,你能很顺利地计算出,它的前n项之和么?当然, 玫瑰之约电动车首选方法嘛,一定是大家耳熟能详的“错位相减法”了。

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1错位相减法

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你看吧,计算过程其实真的是,非常非常简单的。可是为什么,总会有那么多的同学,错到自己一无是处呢?其实,只要把相应的项对齐了,化简时再细心一点,真的是没理由出错的。所以为了这个问题,我极认真的将等差和等比数列都进行了一般化,耐心地做了一下一般性的推导。

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过程有点复杂,但是结果……再细看下,这完全就是一个固定结构的嘛!大概意思就是说:等差比数列的前n项之和是一个常数与新的等差比数列之和多么好的结论!嗯,我还依稀记得,等比数列的前n项和,也是一个常数与等比数列之和的。

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其实,行业资讯谁还不知道等比数列,就是等差比的特例呢!所以,如果允许归纳推理,上面那个结论,也就不是那么奇怪了。不过以后,我们可以类似地,这样去记这个结论:

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因为有了这样的结论,等差比数列的求和,便有了第二种办法。

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2待定系数法

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这种方法,应该是很好的了吧。只是如果考试用它的话,还是要委婉一点的。毕竟,这个结论并没有经过官方认证。但你仍然可以按照错位相减法的过程,象征性地写上几步,便得出结果。自然的,结果要预先在稿纸上算好。当然,对于基础好一些的孩子来说,这种操作是完全没有必要的。毕竟,错位相减的原理,不难理解;计算量,也真心不大。

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其实,如果再细致点分析,你会发现等差比数列,也是可以和某些分式型数列一样,可以裂项求和的。3裂项相消法

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看,这里裂项相消的过程,真的是比错位相减法,看起来舒服了不少。只是,是不是所有的等差比数列,都能进行类似的裂项呢?这个问题,其实你就完全不用担心了。因为我已经为你,准备好了下面的结论:

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当然,如果你觉得还不太放心,也可以自行证明一下。就算是加强一下对这个结论的认识,让以后记得更牢固一点,也是完全可以的。不过还是想聊举一例,以坚定自己对这个结论的信念。

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现在,这个结论没问题了。那以后你还用啥错位相减法嘛!这种裂项相消法,才绝对应该成为首选啊!当然了,如果只是单纯的想秀一下解法,也可以考虑将等差比数列拆开了来看。

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嗯?为什么要标记一下红色部分呢?认真地想一想……想一想……是不是有点求导公式感觉?

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想想等差比呢,却总是会有一个这样子的结构!至于另外一部分,压根就不用去考虑它。因为那就是纯粹的等比数列啊。基于这样的想法,求和时便有了,出人意料的导数法。

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4导 数 法

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确实是够神奇!也从来没想过导数还能这样吧。所以,有没有感觉,以前还是太小看了导数的作用了呢。不过说真的,有了这么几种思路,以后再见等差比,还真的会害怕再也算不对么!